català | castellano | english home   sitemap   legal notice   credits   contacte  
home home

José María Sancho

"Analytical and numerical studies of multiplicative noise". Physical Review A - General Physics, vol. 26 (1982), p. 1589-1609


ABSTRACT

We consider stochastic differential equations for a variable with multiplicative white and non-white ("colored") noise appropriate for the description of nonequihbrium system wich experience fluctuations wich are not "self-originating". We discuss a numerical algorithm for the simulation of these equations, as well as an alternative analytical treatment. In particular, we derive approximate Fokker-Planck equations for the probability desity of the process by an analysis of an expansion in powers of the correlation time of the noise. We have applied our numerical and analytical methods to the "Stratonovich model" often used in the literature to study nonequilibrium systems. The numerical analysis corroborates the analytical predictions for the time-independent properties. We show that for large noise intensity the stationary distribution develops a peak for increasing correlation time that becomes dominant in the large-correlation-time limit. The correlation time of the process in the steady state has been analysed numerically. We find a "slowing down" in the sense that the process correlation time increase as a function of both noise intensity and noise correlation time. This result shows the incorrectness of an earlier analysis of Stratonovich.   

ARTICLE

El maig de 1980 vaig llegir la tesi doctoral i al cap de pocs dies em vaig embarcar en una estada postdoctoral breu, de tot l'estiu, a la Universitat de temple (Filadèlfia, EUA) tot aprofitant l'estada d'un col·lega (M. San Miguel) que havia codirigit la meva tesi. Per tal d'aprofitar el breu interval de temps de que disposava, vaig començar a treballar en dos temes que van ser discutits amb el líder del grup, el professor J.D. Gunton. L'un consistia a trobar relacions entre els exponents dinàmics prop del punt crític. El segon era completar des d'un punt de vista numèric el tractament teòric aproximat que havia desenvolupat en la meva tesi per a l'estudi de processos no markovians descrits per una equació de Langevin. Tots dos temes van donar resultats bastants citats, però aquí em concentraré en la història del segon.

L'estudi, mitjançant simulació numèrica, de les equacions de Langevin (equacions diferencials ordinàries estocàstiques) no havia adquirit encara l'estandarització actual per dues raons: la necessitats de grans mitjans per a la computació i la manca d'un marc teòric ben fonamentat i segur per a l'estudi de les equacions de Langevin amb sorolls no blancs (no markovians).
El segon punt, més teòric, estava bastant avançat en la meva tesi, tot i que resultava difícil de comprendre i de popularitzar a causa del tractament matemàtic emprat, molt relacionat amb les tècniques de la teoria quàntica de camps. Pel que fa a l'aspecte numèric, hi havia molt poca feina feta, la qual cosa es devia, en part, a la manca de clarificació del marc teòric utilitzat aleshores. La Universitat de Temple fou el lloc adient per a dur-hi a terme aquests projectes. Tant l'ambient científic com els mitjans disponibles estaven, en aquella època, a anys llum d'aquells de què podíem disposar a Espanya.

Durant tota l'estada vaig dedicar força temps a la implementació numèrica d'algorismes per simular equacions estocàstiques amb sorolls no blancs. Va caldre un gran esforç per a arribar a poder controlar separadament els errors de l'algorisme amb els deguts a la generació de soroll, que al principi es presentaven barrejats. Finalment, vam trobar la manera de procedir d'unes barres d'error perfectament controlables. la part teòrica també va avançar i fou possible reformular tota la teoria de processos no markovians a partir de càlculs més estàndards que poguessin ser seguits per la majoria dels investigadors interessats en el tema. El temps de l'estada s'acabà i restava per fer tota la tasca de la simulació extensiva.

Això no podia ser fet a Barcelona, de manera que quedà a càrrec d'un jove doctorand del professor Gunton, S. Katz. li va caldre encara un any més per a fer sistemàticament moltes simulacions per tal d'obtenir punts representatius i veure clarament que els efectes del soroll de color eren perfectament observables i controlables. Finalment, al cap de dos anys, aquest article apareixia publicat.

Després d'aquest treball vaig continuar investigant en l'aplicació dels resultats a equacions que descriuen la dinàmica de certs models de làser i en uns altres sistemes. De fet, mai no he deixat d'investigar en el tema de les equacions diferencials estocàstiques aplicades a sistemes físics.

Actualment hi ha hagut una gran revifalla d'interès en aquest mena d'equacions, però aplicades a sistemes extensos; és a dir, ara tenim equacions estocàstiques en derivades parcials. Hi ha bastants sistemes experimentals en què és possible aplicar aquestes tècniques i, en particular, anem treballant en les estructures induïdes per les fluctuacions externes o els sorolls de la reacció química de Belousov-Zhabotinsky. En certes condicions, aquesta reacció és molt sensible a la llum, de manera que podem produir un soroll real en la redacció a base de projectar sobre el sistema un feix de llum fluctuant.

Crec que el nombre elevat de citacions és degut a diversos factors cooperatius:

1. Representa una aproximació teòrica i pràctica força comprensible a un tema obscur dominant fins aleshores per matemàtics molt rigoristes.
2. Els mètodes que hi exposàvem eren fàcils de ser implementats per qualsevol investigador familiaritzat amb el tema, cosa que en permetia extensions i aplicacions a unes altres situacions que en aquell moment tenien força interès, com ara la dinàmica de làser de colorants.
3. Era alhora una mena de revisió de tot el nostre treball anterior sobre processos no markovians, i per això esdevingué una referència genèrica per a la resta d'autors.
4. El fet d'haver estat generat als EUA en el grup del professor Gunton també deu haver contribuït a una projecció més àmplia.


José María Sancho
Departament d'Estructura i Constituents de la Matèria
Facultat de Física
Universitat de Barcelona


 


 


Font:


ROVIRA, Lluis; SENRA, Pau; JOU, David. Estudis bibliomètrics sobre la recerca en física a Catalunya. Barcelona: Institut D'Estudis Catalans, Arxius de les Seccions de Ciències, 2001. 73-74 p. ISBN 84-7283-577-4


 




bottom